Galilein kaunis kaltevan tason lause

Johdantoa

Luin Heilbronin Galilei -elämänkerran (Heilbron J.L., Oxford, 2010). Se on hieno kirja, tosin minulla kului reilut puoli vuotta sen lukemiseen muiden kirjojen ohessa. Kirjaa lukiessa palasi mieleeni kaltevaan tasoon liittyvä lause Galilein kirjassa ”Keskusteluja kahdesta tieteestä” (ital. Dialogo dei due massimi sistemi del mondo, Leiden, 1638). Galilei itse olisi halunnut antaa kirjan nimeksi ”Keskusteluja liikkeestä”, mutta kustantaja Leidenissa kirja päätti toisin. Olen tutkiskellut kirjan englanninkielistä käännöstä (Stillman Drake) aikojeni kuluksi viime vuosituhannelta lähtien. Kirjasta löytyy paljon kauniita ajatuksia.

Kirjan luvussa Kolmas päivä on Lause VI, Väite VI: ”Jos pystytasossa olevan ympyrän ylimmästa tai alimmasta pisteestä luodaan kalteva taso siten, että toinen pää on ympyrän kehällä, niin kaltevaa tasoa kulkevilla kappaleilla matkaan kuluva aika on sama”. Englanninkielisessä versiossa ”If from the highest or lowest point in a vertical circle there be drawn any inclined planes meeting the circumference the times of descent along these chords are each equal to the other.”

Jätän lauseen todistamisen fysiikan opettajille ja opiskelijoille harjoitustehtäväksi. Galilei teki sen käyttämällä geometriaa ja aiemmin osoittamiaan fysiikan totuuksia.

Tietokoneeni syövereistä löytyi tällainen video liittyen noin 2000 DFCL-opintoihin https://youtu.be/jeF45T7Bw1o

Luvussa kolme Galilei oli osoittanut, että kaltevalla tasolla kulkevalla kappaleella on vakiokiihtyvyys. Todistus oli sekä kokeellinen, että geometrinen. Lisäksi hän osoitti tv-kuvaajan pinta-alan avulla (ennen integraalilaskentaa), että kuljettu matka on suoraan verrannollinen ajan neliöön, nykymerkinnöin s = ½ a t^2. Ymmärtääkseni Galilei ei erotellut vierimistä ja liukumista, mutta kirjassa pohditaan myös liikettä vastustavien voimien olemusta liittyen putoamisliikeeseen ja vierimiseen. Galilei ei tietenkään voinut käyttää päätelmissään voima-käsitettä, sillä sen keksi Newton, joka syntyi Galilein kuolinvuonna.

 

GeoGebraa

Tutkitaan miten Lausetta voi havainnollistaa GeoGebralla.

Newtonin mekaniikan avulla helpohkoa osoittaa, että kaltevalla tasolla kitkatta liukuvan kappaleen kiihtyvyys a = g sin a , missä a on kaltevuuskulma. Myös vierivällä kappaleella kiihtyvyys on myös suoraan verrannollinen kaltevuuskulman siniin. Unohdan tässä tapauksessa varrannollisuuskertoimen, sillä ei ole tämän tarinan kannalta merkitystä. Päteehän tämä lause kaikilla planeetoilla ja myös Jupiterin kuissa.

Kun tein ensimmäisen version tästä lauseesta, niin käytin perinteistä suorakulmaista koordinaatistoa. Jos lähdetään origosta ja kaltevuuskulma on 30° alaspäin, niin fysiikkaa ja matematiikkaa opiskellut henkilö voi osoittaa, että paikan koordinaatit ajan t funktiona ovat (sin(30°) cos(30°) t²,  sin(30°)² t²). Tämänkin avulla ongelman ratkaisu onnistui, mutta sitten oivalsin, että nyt kannattaa hypätä napakoordinaatistoon.

GeoGebrassa voi käyttää napakoordinaatteja, kun laittaa koordinaattien erottimeksi puolipisteen ”;”.

Jos haluat pisteeseen, jonka kulma on 30° ja etäisyys origosta 2, niin kirjoita GeoGebran syöttökenttään

A=(2; 30°)

Avaa uusi GeoGebra-sivu. Tämä ohje toiminee kaikilla GeoGebran versioilla 5 ja 6.

Luodaan aikaa kuvaava muuttuja t, eli liuku. Kirjoita syöttökenttään

t = 5

Algebraikkunaan ilmestyy t=5. Klikkaa sen vasemmalla puolella olevaan palloon ja piirtoalueelle syntyy liuku t. Klikkaa hiiren oikealla painikkeella ja valitse Ominaisuudet ja sieltä Liukusäädin. Muuta arvot, Min: 0, Max: 5, Animaatioaskel: 0.1 sekä Toista: => Kasvava.

Harjoituksen vuoksi luodaan piste A. Kirjoita syöttökenttään ja pohdi samalla miksi vain toisessa on etumerkki.

A=(t² sin(30°); -30°)

Kun liikutat liukua, näet miten piste A liikkuu, kun aika kuluu. Zoomaa tarpeen mukaan. Vaihda kulmaa niin näet mitä tapahtuu.

Monistetaan pisteen A kulku eri kulmilla. Se onnistuu helpoimmin käyttämällä Jono-komentoa. Tässä käytän syntaksia Jono( <Lauseke>, <Muuttuja>, <Alkuarvo>, <Loppuarvo>, <Askeleen pituus> ). Kirjoita syöttökenttään

Jono((t² sin(n°); (-n)°), n, 0, 180, 10)

Komento tuottaa pisteitä napakoordinaatteihin (t² sin(n°); (-n)°). Ne kaikki näyttävät olevan samaan aikaan samalla ympyrän kaarella.

Jos halutaan piirtää myös kyseinen ympyrä, niin silloin ainakin minulle karteesiolainen koordinaatisto on taas helpompi. Alin piste putoaa kiihtyvyydellä t2, joten ympyrän säde on t2/2 ja sen säde myös t2/2.

Kirjoita syöttökenttään

Ympyrä((0, (-t²) / 2), t² / 2)

Aikamakeeta.

Esimerkki löytyy sivulta https://ggbm.at/kRSEZQ9r

Lopuksi

Jätän taas laiskuuksissani tuon alemman version mallin tuottamisen minua fiksuimmille ihmisille.

Joskus kun noita ratkoin, niin jotenkin tuo alempi oli minulle helpompi ja ylempi oli vaikeampi, ihmisen mieli on omalaatuinen.

Kun katselin viime kesän Firenzen kuvia, niin sieltä löytyi tällainenkin Galileomuseosta. Nytpä tajuan, mihin tuo kuva liittyy.

[edit. 7.6.18 Korjasin kulman 10° -> 30° suorakulmaiseen koordinaatistoon, sekä toiseen kohtaan, jossa oli virhe.]