lumiukko gif-animaatio

Kirjoitan artikkelia Dimensioon. Tässä tarinaan liittyvä gif-animaatio.

Mainokset

GeoGebra Sci Calc -laskin mobiililaitteille

Laskimen voi ladata Android-laitteille Googlen Playkaupasta ja iPhonelle/iPadille AppleStoresta.

Laskin laskee murtoluvuilla tarkoilla arvoilla. Näppäimistöltä löytyvät perusfunktiot, neliö, neliöjuuri, yleinen potenssi,trigonometriset funktiot, logaritmifunktiot, eksponenttifunktiot, yleinen juuri, käänteisluku, itseisarvo (abs) ja pyöristä (round). Lisäksi mukana on tilastollisia funktioita: keskiarvo (mean), keskihajonta (stdev), otoskeskihajonta (stdevp), permutaatio- (nPr) ja kombinaatiofunktiot (nCr), kertoma (!), keskipoikkeama (mad) ja satunnaisluku (rand).

Laskeminen

Peruslaskeminen laskimella on sujuvaa. Toki kolmen eri näppäimistön välillä hyppiminen on joskus hankalahkoa. Ainakin minulla tämä laskin korvaa iPhoneni oman laskimen.

Tilastollisissa laskuissa luvut kirjoitetaan peräkkäin pilkulla eroteltuina.

Viimeisen laskun tulosta voi käyttää Ans-näppäimen avulla ja muuttujien arvoille voi antaa nimiä.

Koetila

Laskimessa on myös Koetila.

Opettaja päättää pitää kokeen, jossa oppilas saa käyttää apuna laskinta, mutta ei Internetiä. Oppilas valitsee vasemmancyläkulman hampurilaisesta Koe. Laskimessa avautuu ikkuna: Valmistele koetila. Laskin pyytää asettamaan laskimen lentokonetilaan ja sammuttamaan Wi-Fin.

Kun laite on lentotilassa laskin pyytää vahvistaa apin lukitus itseensä. Eli muut laitteen ohjelmat eivät ole käytössä kun Sci Calc on koetilassa.

Kokeen aikana oppilas ratkoo ongelmiaan ja käyttää Sci Calc appia laskimena. Hän ei voi käyttää laitteen muita ohjelmia. Kun oppilas lopettaa kokeen, hän poistuu koetilasta vasemman yläkulman hampurilaisesta. Tämän jälkeen ilmestyy ikkuna, joka kertoo kokeen aloitusajan ja lopetusajan. Oppilas näyttää kuvan opelle. Opettaja päättelee kuvan ajoista, onko oppilas pysynyt koko kokeen Sci Calc ohjelmassa vai onko hän mahdollisesti harrastanut vilppiä mobiililaitteellaan. Kuva tallentuu myös oppilaan laitteelle kuvatiedostona, näin hän voi myös lähettää sen opettajalle mikäli siltä tuntuu.

MAB8 Tilastot ja todennäköisyys -kurssin GeoGebra-komentoja 1

[edit.9.11.18  korjasin pari kirjoitusvirhettä sekä tyylejä]

Tämä ohje toimii ainakin GeoGebra 5.0.498.0 ja 6.0.498.0-versioista lähtien. Esimerkiksi nCr-komento tuli kesällä 2018 versioissa 5/6.0.493.0.

Tärkeimmät työkalut kurssilla ovat tietysti GeoGebran Yhden muuttujan analyysi-, Kahden muuttujan regressioanalyysi- työkalut sekä Todennäköisyyslaskuri. Kaksi ensimmäistä liittyvät lukujen tutkimiseen taulukkolaskennassa (palataan niiden käyttöön myöhemmin) ja Todennäköisyyslaskuri löytyy GeoGebran Näytä-valikosta. Laskurin avulla voi ratkoa paljon erilaisia tehtäviä liittyen jatkuviin ja diskreetteihin jakaumiin. Näiden kolmen työkalun käyttöön kannattaa tutustua ensin. Seuraavat komennot ovat lähinnä lisäapuna mikäli joutuu käsittelemään tilastollista dataa työkalujen ulkopuolella.

Näyttökuva 2018-11-8 kello 17.00.33

Esitän seuraavaksi joitakin tärkeimpiä komentoja, joita voi käyttää kurssin tehtävien ratkaisussa. Komennot on kirjoitettu GeoGebra CASiin.

Sovituksiin liittyvät komennot löytyvät artikkelistani Sovituskomennot GeoGebrassa https://mikonfysiikka.wordpress.com/2018/10/15/sovituskomennot-geogebrassa/. Siellä on myös esitetty Kahden muuttujan regressioanalyysi- työkalu.

Tilastollisia tunnuslukuja

Luodaan ensiksi pieni lista, jossa on lukuja.

Listan lukujen lukumäärä, keskiarvo, mediaani, keskihajonta ja otoskeskihajonta saadaan komennoilla:

lista:={1,1,2,3,3,3,4,5}
-> lista:={1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5}

Pituus(lista)
-> 8

Keskiarvo(lista)
≈ 2.75

Mediaani(lista)
-> 3

Keskihajonta(lista)
-> 1.3

Otoskeskihajonta(lista)
≈ 1.39

GeoGebran CAS-tilassa GeoGebra korvaa Keskiarvo-komennon sen lyhenteellä keskar, Keskihajonnan lyhenteellä keskha ja Otoskeskiarvon lyhenteellä stdevp. Korvaus liittynee uusien appien toimintaan.

Luodaan pistelista

pisteet≔ {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 5), (5, 7), (6, 7), (7, 9), (8, 6), (9, 11), (10, 13)}
-> pisteet≔ {(1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 5), (5, 7), (6, 7), (7, 9), (8, 6), (9, 11), (10, 13)}

Regressiosuoran yhtälö ja korrelaatiokerroin saadaan komennolla

SovitaSuora(pisteet)
-> y = 1.06x + 0.87

Korrelaatio(pisteet)
-> 0.92

Mikäli olisi haluttu vaihtaa regressiosuoran määräämisessä x– ja y-koordinaattien paikkaa olisi pitänyt käyttää SovitaX-komentoa.

SovitaSuoraX(pisteet)
-> y = 1.26x – 0.22

Pisteiden x-koordinaattien ja y-koordinaattien keskiarvot ja keskihajonnat:

KeskiarvoX(pisteet)
-> 5.5

KeskiarvoY(pisteet)
-> 6.7

KeskihajontaX(pisteet)
-> 2.87

KeskihajontaY(pisteet)
-> 3.32

Seuraavassa kuvassa on esitetty pistelista pisteet, piste K on x-koordinaattien ja y-koordinaattien keskiarvopiste, pisteen L koordinaatit on saatu lisäämällä x-koordinaattien ja y-koordinaattien keskihajonnat keskiarvopisteen koordinaatteihin. Pisteet N, O ja M on luotu samalla menetelmällä lisäämällä tai vähentämällä keskiarvoja.

Näyttökuva 2018-11-8 kello 20.08.29

Todennäköisyyteen ja jakaumiin liittyviä komentoja

Kertomafunktio toimii tutusti huutomerkillä

5!
-> 120

Binomijakauma

Binomikertoimet eli kombinaatiot eli (5 alla 2) -merkintä saadaan nCr- tai Binomikerroin-komennolla.

nCr(5, 2)
->  10

Toistokokeen binomitodennäköisyys  lasketaan Binomijakauma-komennolla. Komento toimii hieman eri tavalla CAS:issa ja Syöttökenttää käytettäessä.

Heitetään noppaa 5 kertaa. Millä todennäköisyydellä tulee tasan 3 ykköstä? Nyt n = 5, p = 1/6 ja k = 3.

Syöttökentässä komento

Binomijakauma(5, 1 / 6)

piirtää piirtoalueelle jakauman kuvaajan

Näyttökuva 2018-11-8 kello 20.38.20

Jakauman kertymäfunktio piirretään komennolla

Binomijakauma(5, 1 / 6, true)

Näyttökuva 2018-11-8 kello 20.41.01

Sekä CASissa, että Syöttökentässä kysytty todennäköisyys lasketaan komennolla

Binomijakauma(5, 1/6, 3, false)
≈ 0.03215

Kertymäfunktion arvo saadaan komennolla

Binomijakauma(5, 1/6, 3, true)
≈ 0.99666

Vertaa lukuja Todennäköisyyslaskurin tulokseen.

Näyttökuva 2018-11-8 kello 20.47.42

Poissonjakauma

Poissonjakauma -komento toimii samalla logiikalla kuin Binomijakauma.

Oletetaan, että pitkäaikaisen kokemuksen mukaan opettaja kertoo huonon vitsin oppitunnilla keskimäärin 3,3 kertaa. Millä todennäköisyydellä hän kertoo huonon vitsin tasan kaksi kertaa, jos huonojen vitsien kertominen on Poissonjakautunut?

Syöttökentässä komento

Poisson(3.3)

tuottaa jakauman piirtoalueelle. Kertymäfunktio syntyy komennolla

Poisson(3.3, true)

Näyttökuva 2018-11-9 kello 18.45.50

Tehtävän ratkaisu eli kun x = 2 saadaan komennolla

Poisson(3.3, 2, false)

-> 0.20083

ja kertymäfunktion arvo, kun x ≤ 2

Poisson(3.3, 2, true)

-> 0.35943

Vertaa Todennäköisyyslaskurin kuvaan.

Näyttökuva 2018-11-9 kello 18.56.54

 

Jatkuvat jakaumat

Jatkan tarinaa lähipäivinä, nyt alan odottelemaan isänpäivää.

Hyvää isänpäivää lukijoille.

 

Sovituskomennot GeoGebrassa

[16.10. korjailin kirjoitusvirheitä ja lisäsin pdf:n tarinan loppuun]

Funktion sovittaminen pisteistöön on tyypillinen ongelma, jonka ratkaisemiseminen onnistuu mukavahkosti tietokoneohjelmien avulla. GeoGebrassa on oma työkalu sovitusongelmien ratkaisuun. Lisäksi ohjelmassa on runsaasti sovituskomentoja.

Kahden muuttujan regressio -työkalu

Tutkitaan ensin Kahden muuttujan regressio -työkalua. Seuraavissa esimerkeissä käytetään kuvan taulukkolaskennan lukuja.

Kuva1.png

Valitaan taulukkolaskennan alue B1:G2 ja työkalu Kahden muuttujan regressioanalyysi. Avautuvassa ikkunassa valitaan Analysoija GeoGebra avaa Data-analyysi-ikkunan. Regressiomalli-valikosta voi valita erilaisia sovituksia: Lineaarinen, Logaritminen, Polynomi, Potenssi, Eksponentiaalinen, Kasvu, Sin ja Logistinen.

Kuva2

Ikkunan vasemman yläreunan käsi -ikonin avulla voi muuttaa valittua lukualuetta taulukkolaskennassa, seuraava ∑x -painike näyttää tilastollisia tunnuslukuja liittyen sovitukseen, seuraava painike näyttää mittausdatan, seuraava jäännöskuvion ja viimeinen vaihtaa datan x– ja y-koordinaatit keskenään. Data-ikkunassa voi poistaa yksittäisiä pisteitä ja Jäännöskuvio kertoo pisteiden y-koordinaattien poikkeaman pystysuunnassa valitusta sovituskäyrästä. Oikean yläkulman pienen kolmion takaa löytyy ikkuna, jossa voi lisätä viivadiagrammin, ruudukon ja muuttaa kuvaajan mittasuhteita. Kolmion oikealla puolella olevan pikkuneliön avulla saa kuvaa kopioitua suoraan piirtoalueelle. Siellä on helpompi muokata akseleita ja lisätä akseleille nimet ja yksiköt. Samalla kun kuvaaja siirtyy piirtoalueelle, niin myös Algebra-ikkunaan ilmestyy sovitettu funktio.

Kuva3

Sovituskomennot

Tarkastellaan sitten syöttökentässä ja CASissa käytettäviä sovituskomentoja. Kahden muuttujan regressio -työkalun regressiomallifunktiot käyttäytyvät samalla tavoin kuin sovituskomennot. Komennot tarvitsevat syötteekseen pistelistan. Ennen kuin pistelista luodaan, niin kannattaa käydä valitsemassa Asetukset -> Nimeäminen -> Nimeäminen pois.  Näin pisteiden nimet eivät ilmesty piirtoalueelle. Valitaan taulukkolaskennan alue B1:G2 ja työkalu Luo pistelista.

Kuva4

Avautuvassa ikkunassa voi muuttaa pistelistan nimen, oletuksena se on l1. Annetaan pistelistalle nimi ”pisteet”. Komento SovitaSuora(pisteet) (FitLine) sovittaa pienimmän neliösumman avulla suoran pisteisiin ja antaa sille nimen f. Komento SovitaSuoraX(pisteet) (FitLineX) tekee saman sovituksen, mutta suorat vaihtaa x– ja y-koordinaatit sovitusalgoritmissa. Normaalitilanteessa pienimmän neliösumman sovituksessa ajatellaan, että x-koordinaatit ovat riippumattomia (selittäviä) ja y- koordinaatit riippuvia (selitettäviä) muuttujia. SovitaSuoraX muuttaa y-koordinaatit riippumattomiksi sovitusalgoritmiin.

Kuva5

Sovitetun suoran kulmakertoimen arvon (kuvassa muuttuja a) saa komennolla Kulmakerroin(f)ja vakiotermin arvon (kuvassa muuttuja b) hieman hankalammin Alkio(Kertoimet(f(x),2)).Kertoimetluo listan polynomin f(x)kertoimista ja Alkio(lista, 2)poimii listan toisen jäsenen eli tässä tapauksessa vakiotermin. SovitaSuora-komento poikkeaa muista sovita-komennoista, sillä se tuottaa suoran yhtälön, muut sovita-komennot tuottavat funktion.

Polynomisovitukset tuotetaan komennolla SovitaPolynomi( <Pistelista>, <Polynomin asteluku> ) (FitPoly). Komento SovitaPolynomi(pisteet, 2)luo toisen asteen funktion. Pistelistan tilalla voi olla myös vapaalla kädellä piirretty funktio. Sellaisen saa luotua Piirtoalueen Vapaakäsi-työkalulla. Kuvassa f(x) on toisen asteen sovitus ja p(x) viidennen asteen sovitus pisteet listaan. Funktio h(x) on paraabelisovitus vapaalla kädellä piirrettyyn funktioon g(x).

Algebraikkunassa olevia funktioita voi derivoida, integroida Syöttökentässä tai CAS:issa ja myös niiden ominaisuuksia voi tutkia Funktion-analysointi työkalulla. Se löytyy Piirtoalueen työkaluista Kulma-työkalun ”takaa”.

Kuva6

Eksponentiaalista kasvua varten on sovitukset SovitaEksp(FitExp) ja SovitaKasvu (FitGrowth). SovitaEksp(pisteet)tuottaa muotoa f(x) = a·eb·olevan funktion ja SovitaKasvutyyliin g(x) = a·bx. GeoGebran kannalta kyseessä on sama funktio, vain esitystapa on erilainen. Mikäli tarvitset laskuissasi luonnollisen logaritmin kantalukua e, niin sen saa GeoGebrassa näppäinkomennolla Alt-e tai Syöttökentän oikean reunan symbolivalikosta. GeoGebra 6:ssa ja π löytyvät myös virtuaalinäppäimistöltä. Näiden komentojen syötelistan y-koordinaattien tulee olla samanmerkkisiä.

Kuva7

SovitaPotenssi(pisteet)(FitPow) sovittaa funktion, joka on muotoa f(x) = a·xb.Pistelistan x– ja y– koordinaattien tulee olla positiivisia.

SovitaLogist(pisteet)(FitLogistic) sovittaa muotoa f(x) = a/(1 + b e^(- k x)) olevan logistisen funktion. Pistelistan y-koordinaattien tulee olla positiivisia. Pisteiden pitää olla myös riittävästi S:n muotoisella käyrällä.

SovitaLog(pisteet)(FitLog) sovittaa muotoa p(x) = a+ bln(x) olevan funktion. Pisteiden x-koordinaattien tulee olla positiivisia.

Sin-sovitusta varten toin taulukkolaskentaan heiluriin liittyvää mittausdataa. Loin datasta pistelistan nimeltä heiluri. SovitaSini(heiluri) (FitSin) tuottaa muotoa h(x) = a+ bsin(c x+ d) olevan funktion. Kokemus osoittaa, että jos pisteitä on runsaasti, suuruusluokkaa satoja, niin komento ei toimi aina täydellisesti.

Kuva8

Usein kun sovitetaan mittausdataa, tulee tarve määrittää itse sovitusfunktio. Jos haluaa pakottaa sovitussuoran tai paraabelin kulkemaan origon kautta, niin komennolla Sovita( <Pistelista>, <Funktiolista> )(Fit) se onnistuu. GeoGebra määrittää funktiolistan kertoimet sovituskäyrälle. Niinpä Sovita(pisteet, {x})sovittaa origon kautta kulkevan suoran ja Sovita(pisteet, {x, x^2})origon kautta kulkevan toisen asteen polynomin.

Ehkä mielekkäämpi tapa käyttää Sovita-komentoa on kirjoittaa sovitettava lauseke komennon syötteeksi tyyliin Sovita( <Pistelista>, <Funktio> ). Origon kautta kulkeva suora olisi sovitettu komennolla Sovita(pisteet, k x).

Syksyn 18 fysiikan ylioppilaskokeessa oli tehtävä, jossa oli mittaustuloksia kahvin lämpötilasta ajan funktiona. Luodaan mittaustuloksista pistelista kahvi. Mittaustulokset näyttävät noudattavan Newtonin jäähtymislakia. Komento Sovita(kahvi, a b^x + c) tuottaa funktion, joka kulkee melkoisen hyvin pisteiden kautta. Tosin pisteiden alku- ja loppupäät poikkeavat selvästäsi mallin tuottamasta käyrästä. Komentoa käytettäessä GeoGebra luo vakioita vastaavat liu’ut. Lisäksi pitää tarkistaa Algebra-ikkunasta, että vakioina käytettävät muuttujat eivät ole aiemmin määriteltyjä.

Splini( <Pistelista> )-komento (Spline) luo pistelistan pisteiden kautta kulkevan splinikäyrän. Splini on paloitellusti määritelty parametrinen käyrä. Palat koostuvat kolmannen asteen käyristä siten, että liitoskohdissa käyrä on jatkuva ja derivoituva. Toki käyrän derivoiminen ei onnistu kovin helposti, koska kyseessä on parametrinen käyrä. Käyrälle voi piirtää tangentin jokaiseen pisteeseen. Korkeamman asteen splinejä saa syntaksilla Splini( <Pistelista>, <Asteluku ≥ 3> ). Splinejä ei kannata käyttää, jos mittaustuloksissa on paljon ”virhettä” koska käyrä kulkee kaikkien pisteiden kautta ilman pehmennystä.

Kuvassa f(x)=SovitaKasvu(kahvi),g(x)=Sovita(kahvi, a+b*c^(x))ja d: Splini(kahvi).

Kuva9

Implisiittinen sovitus

Implisiittinen sovittaminen pyrkii tuottamaan n:n asteen xy-tasokäyriä. Pisteiden lukumäärän tulee olla vähintään n(n + 3)/2 pistettä. Yritetään piirtää vapaalla kädellä tietokoneen hiirellä yksikköympyrä mahdollisimman hyvin. Luodaan ensin piste A = (0,1). Jotta pisteen koordinaatit saadaan tallentumaan taulukkolaskentaan, sen ikkunan tulee olla näkyvissä.

Kuva91

Valitaan hiiren oikealla painikkeella piste A ja avautuvasta valikosta Tallenna taulukkoon. Kun avautuneen ikkunan sulkee, voi alkaa liikuttaa pistettä A ja pisteen koordinaatit tallentuvat taulukkolaskentaan. Kun taulukkolaskennassa valitaan A:n liikkuessa luodut pisteet jaLuo pistelista, niin pisteet ilmaantuvat piirtoalueelle ja oletuksena syntyy lista l1. Komennolla SovitaImplisiittisesti(l1, 2) (FitImplicit) ohjelma tuottaa toisen asteen käyrän. Algebraikkunassa GeoGebra ilmoittaa, että se on Implisiittinen käyrä.  Katsomalla sitä tunnistan tai paremminkin arvaan, että kyseessä on ellipsi. Kokeile itse korkeamman potenssin sovituksia ja jos olet rohkea, niin pohdi miten algoritmit ovat niihin päätyneet.

Jostain kumman syystä GeoGebra ei tunnista, että implisiittinen käyrä aon oikeasti kartioleikkaus. Niinpä Syöttökentän komennolla ymp = aohjelma luo kartioleikkauksen siten, että se toimii GeoGebran kartioleikkauskomentojen kanssa.  Kartioleikkausten symmetriakeskus saadaan komennolla Keskus(ymp),polttopisteetPolttopiste(ymp)ja ellipsin eksentrisyys komennolla Eksentrisyys(ymp).

Kuva92

 

Mikäli haluat tutusta monipuolisiin esimerkkeihin GeoGebra sovituskomennoista, niin kannattaa hankkia ruotsalaisten ystävieni Jonaksen ja Thomaksen ”Mathematical Modeling, Applications with GeoGebra” -kirja. Kirjassa on useita kymmeniä pisteistön sovittamiseen liittyviä esimerkkejä liittyen muun muassa kemiaan, fysiikkaan, lääketieteeseen ja taloustieteeseen. Tätäkin kirjoittaessa olen selannut kirjaa aika paljon.

Lue lisää

Korhonen, Luoma-aho, Rahikka. Geogebra -opas. MFKA-Kustannus 2012.

https://mikonfysiikka.wordpress.com/2018/05/15/listat-geogebrassa/

Hall, Lingejärd. Mathematical Modeling, Applications with GeoGebra. Wiley 2017.

Kirjan materiaalisivu. http://bcs.wiley.com/he-bcs/Books?action=index&itemId=1119102723&bcsId=10240

GeoGebran käyttöohjeen Fit-komennon wiki-sivu https://wiki.geogebra.org/en/Fit_Command

Spline Wikipediassa. https://en.wikipedia.org/wiki/Spline_(mathematics)

Tulostettava versio

tarina pdf-muodossa

 

Kuntatalo, lukioiden vertaistutorit työpajat

Kysy! GoogleDocs.

Esitys, Google Slides, täällä on paljon linkkejä.

Laitan tänne lisämateriaalia liittyen työpajoihin.

 

penta2

Taulukkolaskentaan pari taulukkoa

Excel tuotti nuo 2 desimaalia, mutta ovathan ne lukuja.

Ikä Yhteensä Yhteensä
1917,00 2016,00
  0–  4 361200,00 287537,00
  5–  9 372300,00 308897,00
10–14 348300,00 297744,00
15–19 314000,00 298664,00
20–24 261800,00 335040,00
25–29 232800,00 347839,00
30–34 219500,00 356563,00
35–39 190400,00 346604,00
40–44 174400,00 324746,00
45–49 145100,00 339818,00
50–54 122900,00 372735,00
55–59 114000,00 365424,00
60–64 94700,00 371711,00
65–69 77800,00 375219,00
70–74 54100,00 274915,00
75–79 32700,00 211742,00
80–84 13400,00 145222,00
85–89 4200,00 95460,00
90–94 700,00 38716,00
95–99 7886,00
100– 815,00
Yhteensä 3134300,00 5503297,00

luokan oppilaiden pituus ja kengän koko, lähde on jostain koneeni syövereistä

pituus (cm) kenkä
118 26
120 26
121 26
121 27
122 29
123 29
123 29
123 28
123 29
124 29
125 28
125 29
125 28
125 29
126 29
126 29
126 29
127 29
127 29
128 30
129 30
129 30
129 30
129 30
129 30
129 30
130 30
130 30
130 30
131 30
132 30
132 31
134 30
134 30
135 32
135 32
135 31
137 33
138 30
138 31

Alla olevan tehtävän ratkaisuaihio (ei nimiä akseleilla …),  lataa se itsellesi ja tee siitä versio, joka kelpaa Yo-kokeessa :o). Lopulta julkaise versiosi

Seurattaessa vetyperoksidin hajoamista vedeksi ja hapeksi
2 H2O2(aq) → 2 H2O(l) + O2(g)
saatiin oheiset mittaustulokset. Alla olevassa taulukossa on otteita mittaustuloksista. Laajemmat mittaustulokset ovat tiedostossa H2O2 data.csv

a) Piirrä vetyperoksidin hajoamista ajan funktiona esittävä kuvaaja.

b) Määritä vetyperoksidin hajoamisreaktion suurin nopeus. Miten suurin nopeus määritetään?

c) Määritä vetyperoksidin hajoamisreaktion nopeus hetkellä t = 700 s. Miten hajoamisreaktion nopeus määritetään?

 d) Määritä hapen muodostumisnopeus hetkellä t = 1100 s. Miten hapen muodostumisnopeus määritetään?
t(s) c(mol/l)
0 2,32
100 2,16
200 2,01
300 1,87
400 1,72
500 1,61
600 1,5
700 1,4
800 1,29
900 1,2
1000 1,11
1100 1,02
1200 0,98
1300 0,9
1400 0,82
1500 0,77
1600 0,71
1700 0,67
1800 0,62
1900 0,58
2000 0,52
2100 0,5
2200 0,45
2300 0,42
2400 0,4
2500 0,37
2600 0,33
2700 0,32
2800 0,29
2900 0,27
3000 0,25

VESO2018 Tuusula/Mäntsälä

Kysy, niin yritän auttaa Google Docs.

Esitys Google Slides [korjasin linkin 6.10.18]

Ohjelma

Laitan tänne lisämateriaalia liittyen työpajoihin.

 

Annuiteettilasku GeoGebralla

64000€:n laina maksetaan tasaerinä viidessä vuodessa kuukausittain korkokannalla 3.6 %/a.

  1. Laske tasaerä eli annuiteetti.
  2. Laske korko ja lyhennys ensimmäisellä maksukerralla.
  3. Kuinka paljon on lainapääoma ennen kolmannen vuoden ensimmäistä maksukertaa?
  4. Laske korko ja lyhennys kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla?
  5. Laske korko ja lyhennys viimeisellä maksukerralla?
  6. Kuinka paljon korkoa maksetaan yhteensä?

Seuraavissa ratkaisussa näytän miten GeoGebran CAS:in avulla saa tehtävän ratkaistua Lyhyen matikan Talousmatikan MB6 kurssilla. Kyseessä ei ole malliratkaisu, vaan tarkoituksena näyttää eri tapoja miten GeoGebran komentoja voi käyttää.

1 Laske tasaerä eli annuiteetti.

Maksuerä( <Korko>, <Korkokausien lukumäärä>, <Nykyarvo>, <Tuleva arvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> )

<Korko> on korkokanta jaettuna vuosittaisten maksuerien määrällä.
<Korkokausien lukumäärä> on korkokausien lukumäärä.
<Nykyarvo> on lainapääoma laina-ajan alussa.
<Tuleva arvo (valinnainen)> on lainapääoma lopussa, useimmiten se on nolla.
<Laji (valinnainen)>, sen voi jättää tyhjäksi, mutta jos sinne laittaa nollan niin korko maksetaan kuukauden lopussa kuten tässä. Arvolla 1 korko maksettaisiin korko kuun alussa.

Tasaerä eli annuiteetti on 1167,14€.

2 Laske korko ja lyhennys ensimmäisellä maksukerralla.

Ensimmäisellä kerralla korko on 192€ ja ensimmäinen lyhennys 975.14€.

3 Kuinka paljon on lainapääoma ennen kolmannen vuoden ensimmäistä maksukertaa?

TulevaArvo( <Korko>, <Korkokausien lukumäärä>, <Maksuerä>, <Nykyarvo (valinnainen)>, <Laji (valinnainen)> )

<Korko> on korkokanta jaettuna vuosittaisten maksuerien määrällä.
<Korkokausien lukumäärä> on kuinka monennen maksuerän kohdalla lainapääoman arvo lasketaan.
<Maksuerä> on annuiteetin arvo miinusmerkkisenä, ole tämän kanssa huolellinen.
<Nykyarvo (valinnainen)> on lainapääoma alussa.
<Laji (valinnainen)>,sen voi jättää tyhjäksi, mutta jos sinne laittaa nollan niin korko maksetaan kuukauden lopussa kuten tässä. Arvolla 1 korko maksettaisiin kuun alussa.

Lainapääoma ennen kolmannen vuoden ekaa maksukertaa on 26967,70€.

4 Laske korko ja lyhennys kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla?

Kolmannen vuoden ensimmäisellä maksukerralla korko on 80,96€ ja lyhennys 1086,18€?

5 Laske korko ja lyhennys viimeisellä maksukerralla?

Viimeinen lyhennys on lainapääoma ennen viimeistä maksukertaa eli 1163,65€ ja korko 3,49€. Näiden summan pitäisi olla yhtä suuri kuin annuiteetti, testaa onko.

6 Kuinka paljon korkoa maksetaan yhteensä?

Korkoa maksetaan yhteensä 6028,40€.