Galileo’s beautiful Theorem in Copenhagen

Here is the presentation.

Galileo1 in GeoGebra Materials

Galileo2 in GeoGebra Materials

Link to His Book.museo

Mainokset

Galilein kalteva taso, jatko-osa

Edellisessä artikkelissa kerroin miten tuottaa GeoGebralla työkirja, joka havainnollistaa Galilein ”Keskusteluja kahdesta tieteestä” lauseen: ”Jos pystytasossa olevan ympyrän ylimmästa tai alimmasta pisteestä luodaan kalteva taso siten, että toinen pää on ympyrän kehällä, niin kaltevaa tasoa kulkevilla kappaleilla matkaan kuluva aika on sama”. Englanninkielisessä versiossa ”If from the highest or lowest point in a vertical circle there be drawn any inclined planes meeting the circumference the times of descent along these chords are each equal to the other.

Artikkelissa tutkittiin tapausta, joka alkaa ylhäältä. Tuohan tarkoittaa sitä, että jos ylhäältä päästetään samanaikaisesti kappaleita liukumaan eri kaltevia tasoja, niin kappaleet liikkuvat samalla ympyrän kehällä. Galilein kuvassa ajat janoilla janoilla AB ja AC ovat yhtäsuuret.

Dialogues_Concerning_Two_New_Sciences_-_Online_Library_of_Liberty

Mitä tapahtuu, jos laitetaan kappaleita ympyrän kehälle ja päästetään ne liukumaan samanaikaisesti sellaisia kaltevia tasoja, jotka kulkevat ympyrän alimman pisteen kautta ja annettaan niiden jatkaa matkaansa, eli kappaleet eivät törmää toisiinsa alimmassa pisteessä.

0416_Bk_pdf2

Ovatko kappaleet samoilla ympyränkehillä ennen alinta pistettä ja mitä tapahtuu alimman pisteen jälkeen?

Tutkitaan asiaa GeoGebralla. Edellisessä artikkelissa käytin napakoordinaatteja. Käytetään nyt suorakulmaista koordinaatistoa. Jotenkin se on minulle helpompaa vaikka lausekkeet ovat rumemman näköisiä.

Luodaan ensin lähtöpaikat. Harjoituksen, testailun ja myös ymmärryksen vuoksi luodaan piste A, se on 1 säteisen ympyrän kehällä, siten että suuntakulma origosta on α°.  Luodaan aluksi liuku α, ja annetaan sen arvojen muuttua välillä 0°≤ α ≤ 180°. Kirjoita syöttökenttään

α = 180

Klikkaa Algebra-ikkunassa α:n vasemmalla puolella olevaa pompulaa. Klikkaa hiiren oikealla painikkeella liukua ja muuta sen ominaisuudet Min: 0, Max: 180 Animaatioaskel: 1. Kirjoita syöttökenttään

A = (2 sin(α°) cos(α°), 2 sin²(α°))

Matematiikkaa opiskelleet ymmärtävät, miksi A-piste on ympyrän kaarella, jonka keskipiste on pisteessä (0, 1). Kun liu’utat α-liukua, niin havaitset että A todella on ympyrän kaarella.

galilei2_ggb

Fysiikkaa hallitsevat henkilöt ymmärtävät, että liukuvan kappaleen kiihtyvyys tässä tapauksessa suorakulmaisissa koordinaateissa on (g sin(α°) cos(α°) , – g sin²(α°)), missä g on putoamiskiihtyvyys. Koska vakiokiihtyvyydellä levosta lähtevän kappaleen paikka on suoraan verrannollinen kiihtyvyyteen ja ajan neliöön, niin jätän turhat vakiokertoimet pois. Näin ollen paikan koordinaatit ajan funktiona ovat muotoa (2 sin(α°) cos(α°) – sin(α°) cos(α°) t², 2 sin²(α°) – sin²(α°) t²). Luodaan aikaa kuvaava liuku. Kirjoita syöttökenttään

t = 5

Klikkaa Algebra-ikkunassa t:n vasemmalla puolella olevaa pompulaa. Klikkaa hiiren oikealla painikkeella liukua ja muuta sen ominaisuudet Min: 0, Max: 5 Animaatioaskel: 0.1.

Muokataan A pistettä. Kaksoisklikkaa A-pistettä Algebra-ikkunassa ja Määrittele uudelleen -ikkunassa pisteen A arvoksi

(2sin(α°) cos(α°) - sin(α°) cos(α°) t², 2sin(α°)² - sin(α°)² t²)

Kun liu’uta t-liukua, niin havaitset että kappale (piste) lähtee ympyrän kaarelta ja kulkee origon kautta. Jos klikkaat pistettä A Algebraikkunassa ja laitat jäljen käyttöön, havaitset että kyseessä on kiihtyvä liike.

galilei21_ggb

Luodaan useita pisteitä käyttämällä Jono-komentoa. Kirjoita syöttökenttään

Jono((2sin(α°) cos(α°) - sin(α°) cos(α°) t², 2sin(α°)² - sin(α°)² t²), α, 0, 180, 10)

Komento luo listan L1, jossa on pisteitä suorakulmaisissa koordinaateissa (2sin(α°) cos(α°) – sin(α°) cos(α°) t², 2sin(α°)² – sin(α°)² t²) siten, että kulma muuttuu 10 asteen välein. Huomaa että tässä kulma α on jono-komennon sisäinen muuttuja ja se ei riipu algebraikkunan α-muuttujasta.

Piilota piste A Algebra-ikkunan pompulasta. Hävitä vanhat jäljet liikuttamalla Piirtoalueen koordinaatistoa tai Näytä-valikon Päivitä näkymät-komennolla. Tee animaatio klikkaamalla hiiren oikealla painikkeella Algebraikkunan t-muuttujaa ja laita jälki käyttöön, jos siltä tuntuu.

galilei22_ggb

Myös alkuperäisen ympyrän alimman pisteen jälkeen kappaleet liikkuvat samalla ympyrän kaarella. Aikamakeeta. Todista, se on sinun tehtäväsi, minä lähden kalaan.

Katso työkirjani GeoGebra-materiaaleissa.

Galilein kaunis kaltevan tason lause

Johdantoa

Luin Heilbronin Galilei -elämänkerran (Heilbron J.L., Oxford, 2010). Se on hieno kirja, tosin minulla kului reilut puoli vuotta sen lukemiseen muiden kirjojen ohessa. Kirjaa lukiessa palasi mieleeni kaltevaan tasoon liittyvä lause Galilein kirjassa ”Keskusteluja kahdesta tieteestä” (ital. Dialogo dei due massimi sistemi del mondo, Leiden, 1638). Galilei itse olisi halunnut antaa kirjan nimeksi ”Keskusteluja liikkeestä”, mutta kustantaja Leidenissa kirja päätti toisin. Olen tutkiskellut kirjan englanninkielistä käännöstä (Stillman Drake) aikojeni kuluksi viime vuosituhannelta lähtien. Kirjasta löytyy paljon kauniita ajatuksia.

Kirjan luvussa Kolmas päivä on Lause VI, Väite VI: ”Jos pystytasossa olevan ympyrän ylimmästa tai alimmasta pisteestä luodaan kalteva taso siten, että toinen pää on ympyrän kehällä, niin kaltevaa tasoa kulkevilla kappaleilla matkaan kuluva aika on sama”. Englanninkielisessä versiossa ”If from the highest or lowest point in a vertical circle there be drawn any inclined planes meeting the circumference the times of descent along these chords are each equal to the other.

Dialogues_Concerning_Two_New_Sciences_-_Online_Library_of_Liberty

Jätän lauseen todistamisen fysiikan opettajille ja opiskelijoille harjoitustehtäväksi. Galilei teki sen käyttämällä geometriaa ja aiemmin osoittamiaan fysiikan totuuksia.

Tietokoneeni syövereistä löytyi tällainen video liittyen noin 2000 DFCL-opintoihin https://youtu.be/jeF45T7Bw1o

Luvussa kolme Galilei oli osoittanut, että kaltevalla tasolla kulkevalla kappaleella on vakiokiihtyvyys. Todistus oli sekä kokeellinen, että geometrinen. Lisäksi hän osoitti tv-kuvaajan pinta-alan avulla (ennen integraalilaskentaa), että kuljettu matka on suoraan verrannollinen ajan neliöön, nykymerkinnöin s = ½ a t^2. Ymmärtääkseni Galilei ei erotellut vierimistä ja liukumista, mutta kirjassa pohditaan myös liikettä vastustavien voimien olemusta liittyen putoamisliikeeseen ja vierimiseen. Galilei ei tietenkään voinut käyttää päätelmissään voima-käsitettä, sillä sen keksi Newton, joka syntyi Galilein kuolinvuonna.

0416_Bk_pdf3.png

 

GeoGebraa

Tutkitaan miten Lausetta voi havainnollistaa GeoGebralla.

Newtonin mekaniikan avulla helpohkoa osoittaa, että kaltevalla tasolla kitkatta liukuvan kappaleen kiihtyvyys a = g sin a , missä a on kaltevuuskulma. Myös vierivällä kappaleella kiihtyvyys on myös suoraan verrannollinen kaltevuuskulman siniin. Unohdan tässä tapauksessa varrannollisuuskertoimen, sillä ei ole tämän tarinan kannalta merkitystä. Päteehän tämä lause kaikilla planeetoilla ja myös Jupiterin kuissa.

Kun tein ensimmäisen version tästä lauseesta, niin käytin perinteistä suorakulmaista koordinaatistoa. Jos lähdetään origosta ja kaltevuuskulma on 30° alaspäin, niin fysiikkaa ja matematiikkaa opiskellut henkilö voi osoittaa, että paikan koordinaatit ajan t funktiona ovat (sin(30°) cos(30°) t²,  sin(30°)² t²). Tämänkin avulla ongelman ratkaisu onnistui, mutta sitten oivalsin, että nyt kannattaa hypätä napakoordinaatistoon.

GeoGebrassa voi käyttää napakoordinaatteja, kun laittaa koordinaattien erottimeksi puolipisteen ”;”.

Jos haluat pisteeseen, jonka kulma on 30° ja etäisyys origosta 2, niin kirjoita GeoGebran syöttökenttään

A=(2; 30°)

GeoGebra_Classic_5__23_

Avaa uusi GeoGebra-sivu. Tämä ohje toiminee kaikilla GeoGebran versioilla 5 ja 6.

Luodaan aikaa kuvaava muuttuja t, eli liuku. Kirjoita syöttökenttään

t = 5

Algebraikkunaan ilmestyy t=5. Klikkaa sen vasemmalla puolella olevaan palloon ja piirtoalueelle syntyy liuku t. Klikkaa hiiren oikealla painikkeella ja valitse Ominaisuudet ja sieltä Liukusäädin. Muuta arvot, Min: 0, Max: 5, Animaatioaskel: 0.1 sekä Toista: => Kasvava.

Asetukset_-_gal2_ggb.3png

Harjoituksen vuoksi luodaan piste A. Kirjoita syöttökenttään ja pohdi samalla miksi vain toisessa on etumerkki.

A=(t² sin(30°); -30°)

Kun liikutat liukua, näet miten piste A liikkuu, kun aika kuluu. Zoomaa tarpeen mukaan. Vaihda kulmaa niin näet mitä tapahtuu.

Monistetaan pisteen A kulku eri kulmilla. Se onnistuu helpoimmin käyttämällä Jono-komentoa. Tässä käytän syntaksia Jono( <Lauseke>, <Muuttuja>, <Alkuarvo>, <Loppuarvo>, <Askeleen pituus> ). Kirjoita syöttökenttään

Jono((t² sin(n°); (-n)°), n, 0, 180, 10)

Komento tuottaa pisteitä napakoordinaatteihin (t² sin(n°); (-n)°). Ne kaikki näyttävät olevan samaan aikaan samalla ympyrän kaarella.

Jos halutaan piirtää myös kyseinen ympyrä, niin silloin ainakin minulle karteesiolainen koordinaatisto on taas helpompi. Alin piste putoaa kiihtyvyydellä t2, joten ympyrän säde on t2/2 ja sen säde myös t2/2.

Kirjoita syöttökenttään

Ympyrä((0, (-t²) / 2), t² / 2)

Aikamakeeta.

Esimerkki löytyy sivulta https://ggbm.at/kRSEZQ9r

Lopuksi

Jätän taas laiskuuksissani tuon alemman version mallin tuottamisen minua fiksuimmille ihmisille.

0416_Bk_pdf2

Joskus kun noita ratkoin, niin jotenkin tuo alempi oli minulle helpompi ja ylempi oli vaikeampi, ihmisen mieli on omalaatuinen.

Kun katselin viime kesän Firenzen kuvia, niin sieltä löytyi tällainenkin Galileomuseosta. Nytpä tajuan, mihin tuo kuva liittyy.

fys - 1

[edit. 7.6.18 Korjasin kulman 10° -> 30° suorakulmaiseen koordinaatistoon, sekä toiseen kohtaan, jossa oli virhe.]