Miksi kuvaajissa esitetään tietoa logaritmisella asteikolla?

[edit. 21.2.20 Korjasin virheellisen kuvaajan.]
[edit. 22.2.20 Korjasin muutaman fysikaalisen virheen, kiitos Harri. Vaihdoin Worldometer-kuvan.]

Kun menet jollekin sivulle, joka esittää tietoa kuvaajina, niin usein törmäät tilanteeseen, että kuvaajan asteikot ovatkin logaritmisia. Miksi? Mitä koronaviruksen etenemistä esittävillä sivustoilla kuolleiden määrän logaritmi kertoo?

Minusta yksi kauneimmista tilastollisista esityksistä on Hertzsprung–Russell -diagrammi. Tähtitieteilijöillä on siitä monia eri versioita, mutta perinteisesti vaaka-akselilla on tähden pinnan väri sinisestä punaiseen ja pystyakselilla tähden absoluuttinen luminositeetti eli säteilyteho. Koska tähden pintalämpötila on sen pintalämpötilan mitta, niin loppujen lopuksi vaaka-akselilla onkin pintalämpötilan logaritmi oikealta vasemmalle eli mitä kuumempi tähti, niin sitä enemmän vasemmalla se on. Pystyakseli luminositeetti eli säteilyteho kertoo, kuinka moninkertainen tähden säteilyteho on Auringon tehoon (3,9·10^26 W) verrattuna. HR-diagrammissa pystyakseli on suhteellisen tehon logaritmi. Näin Aurinkomme sattuu mukavasti diagrammin keskialueelle.

HR-diagrammi. Tähtien luminositeetti pintalämpötilan funktiona. ESA:n kuva
In the Hertzprung-Russell diagram the temperatures of stars are plotted against their luminosities. The position of a star in the diagram provides information about its present stage and its mass. Stars that burn hydrogen into helium lie on the diagonal branch, the so-called main sequence. Red dwarfs like AB Doradus C lie in the cool and faint corner. AB Dor C has itself a temperature of about 3,000 degrees and a luminosity which is 0.2% that of the Sun. When a star exhausts all the hydrogen, it leaves the main sequence and becomes a red giant or a supergiant, depending on its mass (AB Doradus C will never leave the main sequence since it burns so little hydrogen). Stars with the mass of the Sun which have burnt all their fuel evolve finally into a white dwarf (left low corner).
lähde ESO: https://www.eso.org/public/images/eso0728c/

Kuuloalueen kuvaaja on fysiikan opiskelijoille tuttu kuvaaja MAOL taulukot -kirjassa. Siinä vaaka-akselilla on taajuus logaritmisella asteikolla ja pystyakseli on äänen intensiteettitaso desibeleinä, joka on suoraan verrannollinen äänen tehosuhteen logaritmiin.

kuuloalue kuvaaja
lähde: MAOL taulukot. Otava-MAOL. 2020

Gapminder sivustolla on valtavasti eri valtioihin liittyvää tilastotietoa. Aineistojen aikasarjoja voi tutkia myös logaritmisilla asteikoilla. Kuvassa on vaaka-akselilla BKT/asukas eri maissa ja pystyakselilla odotettavissa oleva elinikä. Itse asiassa myös valtioita kuvaavien ympyröiden säde on logaritminen.

Kuva, joka sisältää kohteen kartta, teksti

Kuvaus luotu automaattisesti

Lähde Gapminder sivu https://www.gapminder.org/tools/#$state$time$value=2018;;&chart-type=bubbles

Worldometer-sivustolla voi seurata korona-viruksen kuolleiden kokonaismäärää logaritmisella asteikolla.

Koronavirukseen kuolleiden ja sairastuneiden määrät
Lähde: https://www.worldometers.info/coronavirus/

polynomiaalinen ja eksponentiaalinen kasvu

Tutkitaan esimerkkien avulla, miten akseleiden muuttaminen näkyy polynomeilla ja eksponenttifunktiolla. Käytän tässä tarinassa 10-kantaista logaritmia, sillä sitä käytetään yleensä kansantajuisissa taulukoissa. Tällöin näkee alkuperäisten lukujen suuruusluokan mukavasti. 10-kantainen logaritmi kun kertoo luvun nollien lukumäärän tyyliin lg(1000) = 3.  

Lukiomatikassa tutkitaan yleensä aritmeettista tai geometrista lukujonoa. Aritmeettisessa lukujonossa kahden lukujonon peräkkäisen erotus pysyy vakiona ja geometrisessä suhde. Jos lukujonoja ajattelee funktioina siten, että järjestysluku on muuttuja x, niin aritmeettinen lukujono on 1. asteen polynomi f(x) = k x + b ja geometrinen lukujono on eksponenttifunktio g(x) = a·q^x.

On suhteellisen helppoa osoittaa, että jos k, n, a ja q > 1, niin a·q^x > k x^n kunhan x on riittävän iso. Eli eksponentiaalinen kasvu ohittaa aina jossain vaiheessa polynomiaalisen kasvun.

Kun pohditaan kasvunopeutta, niin ei yleensä välitetä polynomien a….. muista kuin korkeimman asteen termistä. Yleensä myös yleisen potenssifunktion tyyliin 2.5  x^1,23 kasvua kutsutaan polynomiseksi, vaikka 1,23 ei olekaan luonnollinen luku (0, 1, 2, 3, …).

Otetaan esimerkiksi funktiot f(x) = 3*x^2 ja g(x) = 3*2^x. Funktio f on toisen asteen polynomi ja g eksponenttifunktio, jonka kasvukerroin (taulukkokirjassa talousmatematiikan kohdalla korkotekijä) q = 2.

loglog

Luon GeoGebrassa taulukon, jossa kaksi ensimmäistä saraketta ovat x ja f(x), seuraavat kaksi x ja lg(f(x)) ja kolmannessa parissa lg(x) ja lg(f(x)) Luon noista kolme pistelistaa nimetä linlin, linlog ja loglog. Punainen pistelista lililin on normaali ”koordinaatisto”, vihreässä on normaali x ja y-koordinaatti on lg(f(x)). Sinisessä loglog-pistelistassa molemmista on otettu logaritmi.

Kuvaajasta nähdään, että vihreä lukujono kasvaa todella hitaasti, mutta sininen näkyisi kasvavan suoraviivaisesti. Kun sinisiin pisteisiin sovitetaan suora komennolla

p(x) = SovitaPolynomi(loglog, 1)

havaitaan, että suoran kulmakerroin on 2 eli alkuperäisen polynomimme asteluku. Vakiotermin avulla päästään kertoimeen laskemalla CASissa

10^0,47712
-> 2,99999

Tai jos olet lukenut edellisen artikkelini ”Arvojen poimiminen listoista ja yhtälön ratkaisuista GeoGebrassa

10^Alkio(Kertoimet(p), 2)
-> 3

Jätän lukijalle todistettavaksi, että jos f(x) = k x^n, niin loglog-koordinaatistossa syntyy suora, jonka kulmakerroin on n ja k = 10^(suoran vakiotermi).

linlog

Tutkitaan samalla tavalla eksponenttifunktiota

g(x) = 3*2^x

Nyt vihreä loglog-käyrä ei ole suora, mutta linlog on. Sen yhtälöstä saadaan

10^0.30103
-> 2
10^0.47712
-> 3

Jätän taas lukijalle pohdittavaksi miksi eksponenttifunktiolla a q^x loglog-sovituksen suoran yhtälöllä q = 10^kulmakerroin ja a = 10^vakiotermi.

Lisäksi voit pohtia, minkä tyyppinen käyrä sininen loglog lukujono on.

lopuksi

Toki lukusarjoja olisi voinut alun perikin tutkia käyttämällä GeoGebran sovita-komentoja. Silti monessa tapauksessa, kun tutkitaan lukusarjoja, joiden kasvunopeuksia ei tunneta, on logaritmisten akseleiden käyttö aika kätevää.

Vielä muistutukseksi.

Jos linlog- koordinaatistossa on suora, niin se kertoo eksponentiaalisesta  a·q^x kasvusta.

Jos loglog -koordinaatistossa on suora, niin se kertoo polynomiaalisesta (potenssifunktio) k·x^n kasvusta.

Mitä Worldometer-kuvaaja kertoo? Koronavirukseen sairastuneiden ja kuolleiden kokonaismäärä ei tämän datan perusteella kasva eksponentiaalisesti. Palannen tähän aiheeseen, kun käytössä on pidempi aikasarja ja useammasta eri valtiosta.

The High School Seniors Prom at HYL

On Thursday the 12th graders (3rd graders in high school) left the school. The day is called in Finnish “penkinpainajaiset or penkkarit”. So, the 11th graders became the oldest students at our school. Last months they have been practicing old traditional dances like mazurka, cicapo, polonaise, viennese walz, tango, fireman’s dance, …  for the Senior Prom, “vanhojen tanssit” in Finnish. In some high schools the ball is on Thursday evening but in our school, it is on Friday evening. In our school we also have a tradition that on Thursday some seniors visit elder people at a local nursing home.

On Friday, during the school day, the seniors dance for the other pupils in our school. It is also a dress rehearsal for the official evening ball.  In the evening, families and relatives gather to school to see the spectacular prom. 10th graders work for their senior students in the café and they also clean the ball room after the show.

After the prom we will have a sport holiday for a week.

All the photos from the school day

My collegue Vesa Lahtinen shot a video of their own dance.

Vanhojen tanssit in Wikipedia

The last school day for the Abiturients at HYL

The 12th Year students had their traditional last school day, called Penkinpainajaiset. In the morning they had breakfast with other high school students and teachers. After a very well-produced abi-video, they gave presents to their teachers and prizes to Abiturients. I got a bottle of beer. I wonder why.

Then they visited upper secondary classes giving candies to pupils. Finally, the trucks came, and they left for a ride around city with all the other high schools in Helsinki City.

The Matriculation exam starts on 10th of March, so now they have a couple of weeks time to study for the exam.

I hope that they will live a good life.

Penkkarit Tradition in Wikipedia

All the photos, about 120

Arvojen poimiminen listoista ja yhtälön ratkaisuista GeoGebrassa

Kun GeoGebran listoista poimitaan yksittäisiä tai useampia jäseniä, niin kannattaa käyttää Alkio-komentoa. Tutkitaan joitakin tapoja, miten Alkio-komentoa ja muutamaa muuta komentoa voi käyttää hyväksi listojen käsittelyssä. Listan yhden alkion poimiminen tulee tarpeelliseksi, kun GeoGebran tuottamista ratkaisuista halutaan valita vain yksi, vaikkapa lopullista arvojen sijoittamista varten tai kun haluan kopioida vastauksen LaTeX-koodin kaavaeditoriin. Artikkelin lopussa on linkki aiempiin kirjoittamiini lista-juttuihin.

määritelmä

Alkio(Element)-komennon syntaksi on Alkio( <Lista>, <Alkion sijainti> ) tai Alkio( <Matriisi>, <Rivi>,<Sarake> ). Tätä kirjoitettaessa huomasin, että GeoGebran tarjoamassa komennossa <Rivi> ja <Sarake> ovat väärin päin suomenkielisessä käännöksessä. Korjasin tämän käännökseen, se tullee näkyviin tulevissa versioissa.

N-­ulotteisessa avaruudessa syntaksi on Alkio( <N-Lista>, <Indeksi1>, <Indeksi2>,…,<IndeksiN> ).

GeoGebra 5:ttä lukuun ottamatta GeoGebrassa toimii Alkio-komennon lyhennetty versio eli komento

Alkio(lista, 3)

on sama kuin

lista(3)

Tämä merkitsemistapa on todella kätevä ja se tekee listojen käsittelystä tutumman näköistä vaikkapa Pythonia harrastaneille.

Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti
kuvankaappaus GG6:sta

yksinkertainen esimerkki

Teen esimerkit GeoGebra 5:n CAS:issa. Samat komennot toimivat myös syöttökentässä ja muissa GeoGebra-versioissa. Käytetään esimerkkinä seuraavaa listaa.

lista:={ℯ, 42/13, π, 666}
->lista:={ℯ, 42 / 13, π, 666}

Kolmas alkio π saadaan komennolla

lista:={ℯ, 42 / 13, π, 666}
-> π

Ensimmäinen(First) ja Viimeinen(Last) -komennot tuottavat tulokseksi listoja, niinpä niitä ei juurikaan tule käytettyä.

Ensimmäinen(lista)
-> {ℯ}
Viimeinen(lista)
-> {666}

Oikeapuoli ja Ratkaise -komennot

Tuotetaan seuraavaksi kultaisen leikkauksen luku toisen asteen yhtälön ratkaisuna käyttämällä yhtälön kirjoittamisen jälkeen Ratkaise yhtälö -työkalua tai komennolla

Ratkaise(x^2 -x-1=0)
-> {x = ((-sqrt(5)) + 1) / 2, x = (sqrt(5) + 1) / 2}

Ratkaise(Solve)-komento tuottaa listan, jossa on kaksi alkioita. Ratkaisut ovat GeoGebran mielessä yhtälöitä. Jälkimmäinen yhtälö saadaan komennolla

Alkio({x = (-sqrt(5) + 1) / 2, x = (sqrt(5) + 1) / 2}, 2) 
-> x = (sqrt(5) + 1) / 2

Yhtälön oikea puoli OikeaPuoli(RightSide)

OikeaPuoli( x = (sqrt(5) + 1) / 2 )
-> (sqrt(5) + 1) / 2

Toisaalta, jos olisi halunnut alkuperäisen yhtälön molemmat ratkaisut kerralla, niin tämäkin toimii

OikeaPuoli(Ratkaise(x^2 -x-1=0))
-> {((-sqrt(5)) + 1) / 2, (sqrt(5) + 1) / 2}

Jos haluaa tarkistaa vastauksen sijoittamalla alkuperäiseen lausekkeeseen, niin

f(x):=x^2 -x-1
-> f(x):=x^(2) - x - 1
f({(-sqrt(5) + 1) / 2, (sqrt(5) + 1) / 2})
-> {0, 0}

OikeaPuoli-komennolla voi myös määrittää halutun yhtälön järjestysluvun yhtälölistassa tyyliin

OikeaPuoli({x=1, y=π,z=-π},2)
-> π

Ratkaisut-komento & bugi

Mikäli haluaa saada ratkaisut pelkkinä arvoina, eikä yhtälöinä, niin kannattaa käyttää Ratkaisut(Solutions)-komentoa. Merkitsen seuraavassa ratkaisulistaa nimellä rat.

rat:=Ratkaisut(f(x)=0)
-> rat:={((-sqrt(5)) + 1) / 2, (sqrt(5) + 1) / 2}

Lukija voi pohdiskella kynällä ja paperilla miksi

f(1/rat^2)+f(rat^2) 
-> {2, 2}
f(1/rat)-f(1/rat^2)
-> {0, 0}

tai vaikkapa antaa sievennykset lapsille kotitehtäväksi.

Tehdään yhtälöpari ja ratkaistaan se Ratkaise ja Ratkaisut -komennoilla. Annan yhtälöille nimet, jotta CAS-rivit pysyvät luettavina.

eq1:= (y=f(x))
-> eq1: y = x^(2) - x - 1
eq2:= (y=2x-1)
-> eq2: y = (2 * x) – 1
Ratkaise({eq1, eq2})
-> {{x = 0, y = -1}, {x = 3, y = 5}}

Kun käyttää Ratkaisut-komentoa tuleekin pieni yllätys.

Jos komentoon ei lisää muuttujalistaa niin ratkaisumatriisissa vasen sarake onkin y ja oikea sarake x. Tämä taitaa olla bugi.

Matriisissa alkion poimimisen syntaksi on Alkio(<Matriisi>, <Rivi>, <Sarake>), niinpä edellisen ratkaisun ensimmäisen ratkaisun toinen arvo eli y:n arvo saadaan

Alkio( {{0, -1}, {3, 5}}, 1,2)
-> -1

Moniulotteisissa listojen listoissa poimiminen tapahtuu samalla logiikalla. Koska en ole niitä itse koskaan tarvinnut, jätän niiden tutkimisen lukijalle.

Alkioiden sijoittamisesta, järjestelystä yms.  komennoista olen aiemmin kirjoittanut Listat GeoGebrassa -artikkelissa.

Linkit

Aiempia artikkeleita. Kolme ensimmäistä on julkaistu myös Dimensiossa.

Listat GeoGebrassa

Sovituskomennot GeoGebrassa

Jono GeoGebrassa

Kolme noppaa ja Zip-komento

Ohjesivuja GeoGebra-Wikissä

Element

First

Last

RightSide

Ratkaise

Ratkaisut

Kirjat 2020

Päivittelen tätä sivua pikkuhiljaa vuoden myötä, kun kirjoja tulee luetuksi. Joskus näyttelen näitä oppilailleni, kun kannustan heitä lukemaan.

James S. Corey, Abaddon’s Gate. Science fiction. Expanse trilogian päätösosa. Hieno tarina kokonaisuudessaan. Tässä kirjassa taisteltiin monessa eri paikassa. Välillä oli uuvuttaa yrittää ymmärtää avaruusalusten geometriaa ja siihen liittyviä tapahtumia. Toki fyysikkona oli kiva pohtia erilaisia tilanteita aluksissa, jotka sankarit/pahikset olivat painottomuudessa, kiihtyvässä liikkeessä tai pyörivän aluksen luomassa painovoimassa. Loppupuolella oli hieno kohta, jossa eräs henkilö heräsi sängyssään, joissa hän tunsi painonsa ja pohti, johtuuko se gravitaatiosta vai etenemisliikkeen tai pyörimisliikkeen aiheuttamasta kiihtyvyydestä. Tarina jäi sen verran kesken, että täytynee hankkia jatko-osia. Nyt voi jatkaa sarjan katselua Prime Videosta. Tämä kirjasarja on todellista avaruusoopperaa.

Niclas Natt och Dag, 1793. Historiallinen dekkari. Aika rujo ja ärsyttävän väkivaltainen murhamysteeri 1700-luvun Tukholmasta. Minusta väkivallalla mässäily meni liian pitkälle. Toki erillisten henkilöiden juonenpätlät liimautuivat tarinan edetessä sujuvasti yhteen. En lue jatko-osaa.

Janne Toriseva, Valas. Sarjakuvaromaani. Ostin tämän kirjamessuilta ja sain upean omistussigneerauspurjelaivan. Hyvin toteutettu versio Melvillen Moby Dickistä. Taidan lukea kirjan lähiaikoina tämän innoittamana. Kirjassa on monta sivun kokoista merellistä kuvaa, jotka kelpaisivat tauluiksi.

Bruno Mansoulié, All of Physics (almost) in 15 Equations. Tietokirja. Ostin tämän viime syksynä CERNistä. Kevyttä tarinaa fysiikan kaavojen kauneudesta. Samalla hän kertoo hieman mallien historiasta ja merkinnöistä.

Stephen King, Viimeinen vartio. Trilleri. Mersumies-trilogian viimeinen osa. Edellisissä osissa tarina pysyi jollain tavalla realistisena. Tässä mennään yliluonnolliselle puolelle. Tämä tarina ei ole niin hyvä kuin edelliset kaksi.

Cormac McCarthy, Tie. Science fiction. Aika surullinen dystopia tuhon jälkeisestä maailmasta. Isä ja poika vaeltavat tuhkaisessa Amerikassa etelää kohden varoen muita pahoja ihmisiä. Viimeisellä sivulla tulee ehkä hieman lohtua.


Kirjat 2019
Kirjat 2018
Kirjat 2017

GeoGebra päivitetty versioon 573

Tällä viikolla on näköjään ilmestynyt uusin GeoGebra-versio maailmalle. Versionumero on 573 eli GeoGebra 5.0.573.0 ja 6.0.573.0. Ja tietysti muissa versioissa samaan tyyliin.

Virallinen Changelog Wiki-sivu kertoo tällä hetkellä seuraavista muutoksista/korjauksista.

  • Graphing: same in exam and non-exam (construction features removed)
  • More Symbolic Input Box improvements (including Vectors and the type can’t be changed by typing ”bad” syntax)
  • Bugfix: ggbApplet.setFixed() no longer triggers OnUpdate scripts
  • RandomElement({1/2,1/3,1/4}) works better
  • Android: fix keyboard closing problem on HTC phones

Edellisten lisäksi tähän versioon tuli uusi komento – CASLoaded(). Se tuottaa arvoksi true, jos käytetyssä GeoGebra-versiossa on CAS käytössä ja muutoin false.

Tämä komento on niin uusi, että kääntäjiltäkin se on jäänyt kääntämättä suomenkielelle. Käännös tullee olemaan CASladattu(). Tätä kirjoittaessa komentoa ei voi edes vielä kääntää.

Varmasti tuolla moottorin alla on tapahtunut muitakin muutoksia, mutta tässä tärkeimmät.

Presentation about Finnish School System + Abitti -slides

I usually present these slides to foreing visitors at my school, Helsingin yhteislyseo. I presented these the 1st time in Seattle at a conference during my Fulbright semester in 2013.

Link to Google slides,
https://docs.google.com/presentation/d/1lLiVaWC73DeLY8jX-MEQEzd8P0n11LG-VbR0jU9qf7Q/edit?usp=sharing

Visitors from South Korea in January 2020