Tässä on kiva geometrinen ongelma, joka sopii lukiolaisille ja miksei nuoremmillekin, jos taulukkokirjan kaavat ovat käytössä. Toisaalta kuvan piirtäminen ja vastauksen löytäminen GeoGebran avullakin on aika mukava tehtävä. Tämä löytyi Suresh G:n X-tweetistä.

Oheisessa kuvassa on neljä neliötä, siten, että kärjet ovat samoissa pisteissä kuten kuviossa. Pitää määrittää (punaisen neliön ala + sinisen neliön ala)/(keltaisen neliön ala+vihreän neliön ala).

Se tässä tehtävässä on hauskaa, että vaikka nuo neliöt sattuisivat menemään päällekkäin, niin siltikin tuo suhde pysyy vakiona.

Viime aikoina olen törmännyt aika moneen kivaan geometrian tehtävään, taidanpa jäädä joksikin aikaan pohdiskelemaan niitä.

lähteet

Sureshin X-tweetti
https://twitter.com/gs_bangalore/status/1780882924398575994?s=12&t=w-rwW62InRbo9Z4b3OklaQ

Tutkitaan kolmiolukujen käänteisluvuista muodostetun sarjan suppenemista. Tähän tarinaan sain idean David Meyerin mathsdoton.xyz-viestistä.

Kolmioluvuiksi kutsutaan lukuja 1, 3, 6, 10, 15, 21, …. Jos käytössä on kolmioluvun verran biljardipalloja, niin ne saa kasattua kolmioiksi kuvan tapaan.

Kolmioluvut saa laskettua kaavalla n:n arvoilla 1, 2, 3, …

\begin{align}
K_n&=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}
\end{align}

Varmaan aika moni tämän blogin lukijoista tietää, että harmoninen sarja

H=\sum_{i=1}^∞\frac{1}{i}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...

kasvaa rajatta. Miten käy sarjalle, jossa lasketaan yhteen kolmiolukujen käänteisluvut.

K=\sum_{i=1}^∞\frac{1}{K_i}=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+...

Kun summien arvoja laskee ja muodostaa niistä pisteistöt koordinaatistoon, niin saa jonkinlaisen kuvan sarjojen käyttäytymisestä.

Harmoninen sarja H kasvaa rajatta, tosin aika hitaasti. Tutkittava K-sarjan arvot näyttävät pysyvän kakkosen alapuolella. Vaikuttaa siltä, että sarja suppenee. Nyt vaan pitäisi todistaa se. Jätän todistuksen lukijalle ja avuksi liitän toisen helpon ongelman, jota voi käyttää K-sarjan suppenemisen todistuksen apuna. Ja toki suppenemisen voi todistaa käyttämättä apuna ilman tuota apulausetta. Parhaat laskijat pystyvät tuottamaan todistukset ilman CAS-laskimen apuja :o)

Ongelma 1. Todista. Kun n ≠ 0 tai n≠ -1 , niin peräkkäisten lukujen käänteislukujen tulo on yhtä suuri kuin niiden käänteislukujen erotus

$\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Ongelma 2. Todista, että kolmiolukujen K_i käänteisluvuista muodostettu sarja suppenee

Palannen lähiaikoina kolmiolukujen ominaisuuksiin.

lähteet

Harmoninen sarja Wikipediassa
https://fi.wikipedia.org/wiki/Harmoninen_sarja

Kolmioluvut Wikipediassa
https://fi.wikipedia.org/wiki/Kolmioluku

David Meyer Mathsdoton.xyz viesti
https://mathstodon.xyz/@dmm/112264366740352480

Mikon fysiikka ja matikka

Artikkelit

Sureshin neliöt

lähteet

Suppeneeko kolmiolukujen käänteislukujen muodostama sarja?

lähteet