Keskiarvo ja keskihajonta-komennot GeoGebrassa

Edellistä tarinaa kirjoittaessani huomasin/muistin, että keskiarvo- ja keskihajontakomentoja on useampia. Osa uusista komennoista liittyy siihen, että mobiililaitteita varten tarvittiin lyhyempiä komentoja. Käytän tässä suomenkielistä käyttöliittymää ja kirjoitan komennot CAS:iin.

[17.1.20. Lisäsin keskihajonnan.]

keskiarvo

Tutkitaan eri komentoja luvut listan avulla.

luvut:= {1,2,3,4,5}
->luvut:={1, 2, 3, 4, 5}

Alkuperäinen englanninkielinen keskiarvo-komento on Mean. Niinpä CAS:iin kirjoitettuna

Mean(luvut) 

tuottaa

Keskiarvo(luvut)
-> 3

Joskus noin vuosi sitten mukaan tuli mobiililaskin Scientific Calculator. Sitä varten tarvittiin lyhyempiä nimiä komennoille. Niinpä mean kääntyi keskar-komennoksi. Tuo keskar ei välttämättä ole kaikkein kaunein vaihtoehto, mutta ainakin tällä hetkellä se on keskiarvon lyhenne GeoGebrassa. Toki myös Keskiarvo-komento toimii.

keskar(luvut)
-> 3

muita keskiarvoja

GeometrinenKeskiarvo(GeometricMean)-komento laskee syötelistan tulon n:nen juuren, missä n on lukujen lukumäärä. Katso Wikipedia. Kaikki lukijat varmaan muistavatkin, että kahden luvun geometrinen keskiarvo eli keskiverto on se luku, joka on vastaa sitä neliön sivun pituutta, joka tuottaa alkuperäisten lukujen tuottaman suorakaiteen pinta-alaa vastaavan neliön alan (meniköhäntuoihanoiken?

NeliöllinenKeskiarvo(RootMeanSquare)-komento laskee syötelistan lukujen neliöiden keskiarvon neliöjuuren. Katso Wikipedia.

HarmoninenKeskiarvo(HarmonicMean)-komento laskee lukujen käänteislukujen keskiarvon käänteisluvun. Katso Wikipedia.

Muita keskiarvomentoja varten luodaan pistelista:

pisteet:=({(1,-1), (2,-2), (3,-3)})
-> pisteet:=({(1,-1), (2,-2), (3,-3)})

KeskiarvoX ja KeskiarvoY laskevat pistelistan x-koordinaattien ja y-koordinaattien keskiarvot.

keskihajonta

Käytän tässä seuraavia määritelmiä keskihajonnalle ja otoskeskihajonnalle.

Alkuperäinen keskihajonta-komento oli SD. Niinpä jos kirjoittaa CAS:iin
SD(luvut) tai SampleSD(luvut)

GeoGebra tuottaa

Kuvankaappaus MAOL/Otavan taulukkokirjasta, tällainen näkyy yo-kokeessa.

Mobiili Scientific calculatorin takia olisi pitänyt keksiä lyhyt käännös sdevp ja sdev -komennoille. Päätin, että noita ei kannata kääntää. Niinpä keskihajonta on myös suomenkielellä

stdevp(luvut)
-> 1.41

ja otoskeskihajonta

stdev( luvut )
-> 1.58

luokiteltu aineisto

Kesiarvo- ja keskihajonta komentoihin liittyy myös mahdollisuus käyttää syötteenä luokiteltua aineistoa. Kuvitellaan, että ykkösten lukumäärä on 1, kakkosten 2, kolmosten 3, nelosten 3 ja vitosten 1. Luodaan lista f kuvaamaan frekvenssejä.

f:={1,2,3,2,1}
-> {1, 2, 3, 2, 1}

Luokitellun aineiston keskiarvon, keskihajonnan ja otoskeskihajonnan saa laskettua:

yhden muuttujan analyysi -työkalu

Tässä vaiheessa tietysti pitää muistuttaa arvoisaa lukijaa, että normaalitilanteessa ei kannata käyttää näitä komentoja vaan taulukkolaskentaa ja Yhden muuttujan analyysi -työkalua.

Näihin tilastotieteen funktioihin pitää perehtyä tarkemmin. Palaan aiheeseen joskus. Tai ainakin siinä vaiheessa kun optan aiheeseen liittyviä kursseja.

Keskihajonta-sovellus GeoGebralla

Tehdään GeoGebralla pieni sovellus, jonka avulla voi havainnollistaa keskihajontaa. Sovelluksessa voi vaihtaa 20:n luvun arvoja ja se laskee jakauman keskiluvut sekä piirtää jakauman histogrammin.

GeoGebran Yhden muuttujan analyysi -työkalun avulla tällaisten jakaumien tutkiminen on helppoa. Siinä vain ei voi muuttaa lukujen arvoja reaaliaikaisesti. Käytän tätä omassa opetuksessani havainnollistamaan keskihajontaa MAB5 kurssilla.

taulukko

Avataan GeoGebra 5 ja valitaan Näytä-valikosta Taulukkolaskenta. Kirjoitetaan soluihin B2:B21 lukuja vaikkapa väliltä 1…10. Luodaan luvuista lista valitsemalla alue B2:B21 ja sen jälkeen klikataan Luo lista -työkalua. Avautuvassa ikkunassa muutetaan listan nimeksi luvut.

Soluun C2 lasketaan keskihajonta.

=stdevp(A2:A21)

Soluun C3 lasketaan otoskeskihajonta (pohdi itse miksi alla oleva kaava toimii).

=C2 sqrt(C5 / (C5 - 1))

Soluun lukujen lukumäärä.

=Pituus(luvut)

Soluihin C7-C9 lasketaan keskiluvut keskiarvo, moodi ja mediaani.

=keskar(luvut)
=Tyyppiarvo(luvut)
=Mediaani(luvut)

kuvaaja

Kuvaaja piirretään Histogrammi-komennolla. Sen ensimmäinen syöte on lista, joka kertoo histogrammin pylväinen reunojen kohdat ja toinen lista, jossa on tutkittavat luvut. Alla näkyvässä komennossa oleva Jono-komento tuottaa listan {0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9.5, 10.5}.

Histogrammi(Jono(0.5, 10.5, 1), luvut)

Tarinaan liittyvä appi löytyy GeoGebra-materiaaleista osoitteessa https://www.geogebra.org/m/uxn7tcfp

Lähiaikoina palaan tähän sovellukseen ja pohdiskelen, miten tuon kuvaajan skaalausta saa automaattisesti muutettua vai saako.

Ympyrädiagrammi LibreOfficella

Ohessa on LibreOffice taulukko. Siinä on GoogleFormsilla kerätystä datasta kopioitu erään oppilasryhmän oppilaiden silmien väri ja sukupuoli. GeoGebralla on hankala tuottaa ympyrädiagrammeja, niinpä tuotan sen LibreOfficella.

Lataa tiedosto https://drive.google.com/file/d/1-0Q7uiqu98JPCJ_jqJFK8tJ9Y6wyCIOQ/view?usp=sharing omalle koneellesi ja avaa se LibreOfficella.

Simppeli tapa

Tehdään diagrammi ensin mahdollisimman yksinkertaisesti, ilman kummempaa koodaamista.

Ensin pitää päätellä mitä luokkia silmien väri -muuttujassa on. Helpointa on vain katsoa taulukosta, että eri luokat ovat: sininen, ruskea, sinivihreä, vihreä sekä vihreä ja ruskea.

Kirjoitetaan luokat C-sarakkeen soluihin.

Toki nuo silmien värejä vastaavat lukumäärätkin saisi laskettua ihan käsinkin, mutta käytetään tässä LASKE.JOS-funktiota apuna.

Kirjoitetaan soluihin D2, …, D6 kaavat
=LASKE.JOS(A2:A28;”sininen”)

=LASKE.JOS(A2:A28;”vihreä ja ruskea”)

Diagrammi saadaan aikaiseksi valitsemalla alue C1:D6 ja tämän jälkeen Työkalupalkin Lisää kaavio tai Lisää-valikosta Kaavio.

Ohjattu kaavion luonti -ikkunassa valitaan Ympyrä ja sen jälkeen Seuraava.

Toisessa ja kolmannessa ikkunassa Seuraava.

Viimeisessä ikkunassa kirjoitetaan tarvittava tieto otsikoihin ja lopuksi Valmis.

Näin piirakka on valmis.

Monimutkaisempi menetelmä

Jos A-sarakkeen silmien värejä olisi ollut paljon, olisi luokkien päättely voinut olla hankalaa. Tehdään luokkien etsiminen ja frekvenssien laskeminen hieman monimutkaisemmin. Tällainen automatisointi toimii isommissakin taulukoissa.

Tuotetaan ensin silmien värit käyttämällä suodatusta eli filtteröintiä. Avaa alkuperäinen tiedosto silmä.ods. Valitse sarake A klikkaamalla sarakkeen tunnukseen ja Data-valikosta Oletussuodatin…

Oletussuodatin-ikkunassa valitse Arvo kohdassa Ei tyhjä ja klikkaa Asetukset-kolmioon. Klikkaa Alue sisältää sarakeotsikot, Karsi identtiset ja Kopioi tulokset kohteeseen: -ruutuihin ja valitse kohteeksi $Taulukko1.$C$1 (klikkaamalla taulukossa soluun C1).

Näin silmien värit suodattuvat C-sarakkeelle.

Frekvenssien laskemiseksi käytetään edellä esitettyä LASKE.JOS-funktiota, mutta käytetään apuna dollarimerkkiä kiinnittämään viittaukset soluihin siten, että voidaan käyttää apuna kahvaa kaavan monistamiseen. Tätä menetelmää kutsutaan yleensä soluviitteen lukitukseksi tai suoraksi eli absoluuttiseksi soluviittaukseksi.

Kirjoita soluun D2 kaava
=LASKE.JOS(A$2:A$28;C2)

Valitse solu D2 ja vedä kahvasta soluun D6 saakka. Näin dollarimerkki kiinnittää viittauksen riveille 2…28, samalla viittaus silmän väriin sarakkeella C muuttuu suhteellisesti, kun kaavaa kopioidaan kahvasta vetämällä.

Diagrammi syntyy samalla tavalla kuin edellä on esitetty.

Lisätään piirakkaan vielä prosenttiosuudet. Klikkaa ympyrädiagrammiin siten, että saat hiiren oikean painikkeen avulla valittua Lisää arvopisteiden otsikot.

Valitse samalla tavalla piirakka hiiren oikealla painikkeella ja Muotoile arvopisteiden otsikot…

Poista ruksi Näytä arvo lukuina -kohdassa ja lisää ruksi Näytä arvo prosenttiosuutena -ruutuun.

Nyt ympyrädiagrammi on valmis. Toki voit opiskella lisää miten muokata värejä tms.

Tee harjoituksen vuoksi ympyrädiagrammi sukupuolesta.

Juna-ongelman perinteinen ratkaisu

Esitin ongelman artikkelissa Metropallo-ongelma En laita tehtävän antoa tänne näkyville. Niinpä oppilaillani on hieman vaikeampi löytää tätä ratkaisua.

Ratkaisu

Tässä ongelman perinteinen säilymislakeihin ja yhtälön ratkaisuun perustuva ratkaisu.

Oletetaan, että junan massa on M ja pallon massa m. Junan nopeus on V ja pallon -v. Tutkitaan aluksi täysin kimmoisaa yksiulotteista törmäystä. Junan nopeus törmäyksen jälkeen on U ja pallon u.

Kirjoitan ratkaisun GeoGebra 5:n (5.0.570) CAS:iin. Huomaa, että välilyönti muuttujien välissä tarkoittaa kertolaskua.

Liikemäärän ja liike-energian säilymislait tuottavat yhtälöt:

M V – m v = M U + m u
1/2 M V^2 +1/2 m v^2 =1/2 M U^2 +1/2 m U^2

U ja u saadaan ratkaistua komennolla

Ratkaise({$1,$2}, {U, u})
Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Ratkaisuisiksi tulee kaksi (U, u) arvoa. Ensimmäinen ratkaisu tarkoittaa sitä tilannetta, että pallo menee junan läpi, tällöinkin liikemäärä ja liike-energia säilyvät. Toinen tapaus on realistisempi, se saadaan irti listasta komennolla

Alkio($3,2)

Oletetaan, että junan massa on suuri, vaikkapa 10000 kg ja pallon massa pieni, vaikkapa 0.1 kg. Sijoitetaan arvot Sijoita työkalulla.

Alla Sijoita-työkalun Ikkuna.

Vaikuttaa siltä, että tässä tapauksessa pallon nopeus noin viisinkertaistui eli on lähellä arvoa 25 km/h.

Kuvaaja

Tämä luku on tässä sen takia, että satuin leikkimään kuvaajilla raja-arvoa etsiessäni ja tuo suora ja ellipsi juolahtivat mieleeni.

Kun alkuperäistä yhtälöparia katsoo syvällisemmin ja muuttaa U:n x:ksi ja u:n yksi, niin havaitsee, että liikemäärän säilymislaki tuottaa suoran ja liike-energian yhtälö ellipsin yhtälön. Yksinkertaistetaan tilannetta siten, että M = 100 ja m = 10, näin saadaan simppelimmät kuvaajat eikä tarvitse välittää skaalaamisesta.  

Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Kuvaaja näyttää ratkaisut suoran ja ellipsin leikkauspisteenä.

Muuttamalla liu’un avulla M:n arvoa ja tutkimalla ratkaisupisteen jättämää jälkeä, voisi päästä myös kiinni raja-arvon lukuarvoon. Jätän tämän harjoitustehtäväksi.

Raja-arvo

Tutkitaan pallon nopeuden lausekkeen raja-arvoa, kun M kasvaa suureksi tai m lähestyy nollaa. Nopeuden lausekkeen käyttöön saa ehkä mukavimmin käyttämällä komentoja, jotka muokkaavat 4. solun ratkaisua.

Ratkaisu:=Alkio($4,2)
Nopeus:=OikeaPuoli(Ratkaisu)
RajaArvo(Nopeus, M, Infinity)
Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Perinteisellä laskennolla tuon edellisen tuloksen saa, kun jakaa Nopeus-lausekkeen osoittajan ja nimittäjän M:llä ja havaitsee, että m/M lähestyy nollaa kun M lähestyy ääretöntä.

GeoGebralla tuon osoittajan jakamisen M:llä olisi saatu aikaiseksi seuraavasti.

Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Vastaavalla tavalla nimittäjä

Kuva, joka sisältää kohteen näyttökuva

Kuvaus luotu automaattisesti

Niinpä u = 2 V + v, kun M on iso ja m pieni.

Huomasinpa, että ExpandOnly-komentoa ei löydy suomeksi. Pitääpä selvittää, miksi sitä ei voi kääntää.

Lopuksi

Jätän realistisemman kimmottoman ja 3D maailmassa tapahtuvan törmäyksen tutkimisen alan harrastajille.

Tulevassa tarinassa esitän yksikertaisemman koordinaattimuunnoksiin perustuvan ratkaisun u = 2V + v lausekkeelle.

Kirjat 2019

Antti Heikkinen, Risainen elämä. Elämänkerta. Mielettömän moniin haastatteluihin perustuva Juicen elämän tarina. Minusta haastatteluja olisi voinut olla vähemmän. Tuli surullinen olo Juicen alkoholismin kuvauksesta. Sain joululomalla lopulta luettua tämän kesällä aloitetun mökkikirjan.

Dave Eggers, The Circle. Science fiction. Lähitulevaisuuteen sijoittuva dystopia. 1984 tyyppinen Iso Veli valvoo -tarina. Googlen ja Applen kaltainen yritys, jonka somesovellukset valtaavat markkinat on kai pahis. Päähenkilö on ärsyttävän tyhmästi käyttäytyvä nainen tai sitten hän on äärimmäisen häikäilemätön sosiopaatti.

James S. Corey, Leviathan Wakes. Science fiction. Vajaat 600 sivua avaruusoopperaa. Ihminen osaa liikkua nopeahkosti Aurinkokunnassa ja energiaakin on käytössä. Maa, Mars ja asteroidivyöhyke ovat eriytyneet omiksi kansoikseen. Mukana myös elämää muualta. En ihmettele, että Amazon tuotti/osti tämän omalle tv-kanavalleen. Pakko katsoa Expanse-sarja ja lukea koko trilogia. Suosittelen.

Peter Farrell, Math Adventures with Python. Oppikirja. Hyvä opas matikanopettajille, jotka haluavat käyttää Pythonia ohjelmoinnin opetuksessa. Aloittaa ohjelmoinnin kilpikonnagrafiikalla, niin kuin moni meistä vanhoista nörteistä Logolla. Hyvä opas.

Margaret Atwood, Orjattaresi. Science fiction. Miehet (ja osa naisista) ovat ottaneet vallan ja  uskonnon avustuksella orjuuttavat naisia. Mielenkiintoinen dystopia, kirjan viimeinen luku oli hyvä.

James S. Corey, Caliban’s War. Science fiction. Expanse-sarjan toinen osa. Mukaan tulee pari uutta henkilöä ja taistelu pahoja korporaatioita vastaan saa ratkaisun. Taustalla on Aurinkokunnan ulkoisen elämän tuottaman protogeenin uhka. Vauhdikas tarina, riittävästi actionia.

Reijo Mäki, Gekko. Dekkari. Viihdyttävä Vares kesälomalle. Tällä kertaa tutkitaan kadonneen taiteilijan tapausta. Paljon tasa-arvoisia vitsejä. Tämä oli hyvä. Kun lukee Vareksen noin vuodessa niin ei kyllästy.

Marco Vinchi, Kuolema Firenzessä. Dekkari. Mielenkiintoinen tarina 60-luvun Firenzestä. Vanhahko poliisi tutkii teinipojan katoamista. Aika hidastempoinen. Kehystarinana Firenze ja vuoden 1966 suurtulva. Loppu on aika tyly.

Heikki Ylikangas, Nurmijärven rosvot. Tietokirja. Puuduttavan tarkka tutkimus mitä Nurmijärvellä ja sen ympäristössä tapahtui 1820-luvulla. Tässäkin olisin kaivannut sen ajan karttoja esittämään miten Nurmijärveltä kuljettiin vaikkapa Sipooseen tai Hämeenlinnaan. Kirja valotti hyvin Taaborilla nähtyä teatteriesitystä.

Kazsuo Ishiguro, Ole luonani aina. Science fiction. Tämän dystopian tunnelma oli hyvin samantyylinen kuin Atwoodin ”Orjattaresi”. Kirjaa lukiessa pohti, miksi nuo nuoret olivat tuossa koulussa ja mikä heidän elämäntehtävänsä on. Lopussa asian julmuus paljastuu. Ei mene Top 10 listalle scifeissä.

Hans Rosling, Faktojen maailma. Tietokirja. Hieno kirja siitä, että asiat ovat paremmin kuin luulin. Kaikkien opettajien tulisi lukea tämä kirja. Maailman väestö jakaminen neljään tasoon on hieno idea. Pitänee ostaa kirja omaan luokkaani.

Olli Jalonen, Merenpeitto. Historiallinen romaani. Taivaanpallon tarina jatkuu. Angus aikuistuu, mutta minusta hänen tapansa kertoa tarinaa ei aikuistu. Ihan luettava, mutta eka osa oli parempi.

Reijo Mäki, Tolvana. Dekkari. Tämä oli pakko ostaa kirjamessuilta, kun taiteilija itse signeerasi kirjan. Mielenkiintoinen ja vauhdikas tarina kostosta, venäläisistä rosvoista ja vakoilijoista. Siinä sivussa mukana on turkulainen KHL-joukkue.

Päivittelen tätä sivua pikkuhiljaa vuoden myötä, kun kirjoja tulee luetuksi.

Tämän vuoden kirja on Coreyn Leviathan Wakes.

Kirjat 2018
Kirjat 2017

Metropallo-ongelma

[edit. 4.1.20 Muutin HSL:n HKL:ksi, kiitos Jussi.]

Kuvitellaanpa seuraavan kaltainen tilanne. Seisot metroradalla (vieressä) ja juna tulee sinua kohden 100 km/h. Olet sopinut metrokuskin ja HKL:n kanssa, että saat heittää kimmoisan pallon kohden metron etuosaa nopeudella 50 km/h.

Kuinka suurella nopeudella pallo ponnahtaa takaisin? Tee tarpeellisia yksinkertaistavia oletuksia, jotta saat tehtävän ratkaistua omalla tavallasi.

 Mikä on suurin mahdollinen nopeus, jos junan nopeus on V ja pallon nopeus -v, kun junan massa on suuri ja pallon massa pieni?

Vaikka fysiikka perustuu kokeellisuuteen, niin älä tee tätä koetta metroradan varressa. Käy mieluummin katsomassa demoa Heurekassa.

Heurekasta tuli mieleen aiheeseen liittyvä ongelma. Kevyt pallo on painavan pallon päällä. Pallot pudotetaan korkeudelta h. Kuinka korkealle korkeintaan kevyt pallo nousee törmäyksen jälkeen?

Tämäkin ongelma on alun perin jostain Internetin syövereistä, opin tälle kauniin ratkaisun Moskovan avaruusfysiikan kesäkoulussa 2010. Julkaissen sen täällä lähiaikoina.